В 1930 году поступил на курсы при Московском учебном комбинате связи, затем — в институт. После окончания в 1939 Московского института инженеров связи работал на одном из предприятий Москвы, откуда в 1939 году по партийной разнарядке был направлен в органы внешней разведки Главного управления госбезопасности при НКВД СССР. В 1939—1940 годах обучался в Школе особого назначения НКВД.

В феврале 1941-го прибыл в США для работы в нью-йоркской резидентуре. За 6 лет работы добыл и передал на Родину большое количество секретной информации, преимущественно военного характера.

В 1947—1950 годах работал в лондонской резидентуре. В Лондоне, в частности, поддерживал оперативный контакт с Клаусом Фуксом, от которого была получена важная информация по атомной тематике, в том числе по устройству водородной бомбы. После провала и ареста Фукса в апреле 1950 года Феклисов вернулся в Москву и был назначен заместителем начальника американского отдела Первого Главного управления КГБ СССР (внешняя разведка); с 1955 года — начальником американского отдела.

В 1960—1964 годах под именем Александр Фомин возглавлял главную резидентуру КГБ в Вашингтоне. Сыграл важную роль в урегулировании Карибского кризиса 1962 года.

Военные убедили Никиту Хрущева, что в ответ на размещение американских ракет в Турции, следует предпринять адекватные действия: разместить советские ядерные ракеты у побережья США. Наиболее подходящим местом, по мнению военных, будет остров Куба. Глава Республики Куба Фидель Кастро дал свое согласие.

Операция Министерства обороны СССР по размещению на острове Куба советских ракет с атомными боевыми головными частями проводилась под грифом «совершенно секретно». Секретность обеспечивалась по линии КГБ. Министерство иностранных дел о проведении операции не извещалось во избежание утечки информации. Ни Посол СССР, ни советский военный атташе в Вашингтоне не знали о проводимой операции. Таким образом, создалась критическая ситуация, когда официальный дипломатический канал между СССР и США перестал выполнять свою функцию. Вызванный в Белый дом Андрей Громыко в беседе с президентом США Джоном Кеннеди отрицал наличие советских ракет близ Флориды у побережья Америки. Президент США, в свою очередь, располагал неопровержимыми данными своей разведки о присутствии советского ядерного оружия на острове.

Американские военные настаивали на нанесении превентивного удара по острову Куба. Мир оказался на грани атомной войны.

Феклисов вступил в контакт с корреспондентом телекомпании ABC News Джоном Скали, который передал ему предложение руководства Соединенных Штатов по урегулированию кризиса, а именно: удаление советских ракет с Кубы в обмен на неприкосновенность режима Кастро. По линии КГБ через Феклисова был восстановлен канал связи Вашингтона с Москвой. В истории это событие получило название «Канал Скали — Фомин». Эскалацию военных действий удалось предотвратить. Джон Кеннеди и Никита Хрущев достигли компромисса. СССР убрал свои ядерные ракеты с Кубы, США — несколько позднее — вывели свои ракеты с территории Турции. «Карибский кризис» был преодолен.

После возвращения из Вашингтона работал в Краснознамённом институте КГБ при Совете министров СССР. С 1974 года — в отставке.

Был женат, имел двух дочерей. Дочь Наталья Асатур — автор воспоминаний об отце.

Похоронен в Москве на Троекуровском кладбище.