Обучался в Московском физико-техническом институте и Московском государственном университете. Доктор физико-математических наук (1973), профессор МФТИ (1974). Он возглавляет отдел астрофизики высоких энергий РАН, с 1992 года — ведущий научный сотрудник Института космических исследований РАН. Он также является управляющим директором Института астрофизики (англ.) Общества Макса Планка в Гархинге (Германия).
В сотрудничестве с Я. Б. Зельдовичем создал теорию, известную под названием эффект Сюняева-Зельдовича (англ.), согласно которой реликтовое излучение в космосе постепенно рассеивается под воздействием электронов[1][2][3][4].
Р. А. Сюняев совместно с Н. И. Шакурой разработал модель аккреционных дисков, образующихся при падении вещества на чёрную дыру и служащих причиной сильного рентгеновского излучения от двойных систем, в которых одной из звёзд является чёрная дыра либо нейтронная звезда[5].
Р. А. Сюняев участвовал в важных исследованиях ранней вселенной, включая исследования по рекомбинации водорода и возникновению реликтового излучения. Он возглавлял команду, которая построила и управляла модулем «Квант», входившей в состав орбитальной станции «Мир». С помощью этого модуля в 1987 было впервые зафиксировано рентгеновское издлучение от сверхновой. В настоящее время его отдел занимается подготовкой международного астрофизического проекта Spectrum-X-Gamma (англ.), в то же время в Гархинге он работает над двумя экспериментами в рамках подготовки к предстоящему запуску космического аппарата Европейского космического агентства ESA Planck.

Фонд имени короля Фейсала был основан в 1976 году сыновьями короля Саудовской Аравии Фейсала бен Абдулазиза. Фонд ежегодно присуждает премии "мужчинам и женщинам, чей вклад сделал мир лучше". Премии вручаются в разных номинациях и, в том числе, в номинации "наука", которая включает в себя физику, математику, химию и биологию.
Премия состоит из золотой медали и 200 тысяч долларов США, которые делят лауреаты премии в данной категории. В 2002 году эту премию в области математики получил член-корреспондент РАН, выдающийся алгебраист Юрий Иванович Манин.